Seznam Mersennových prvočísel a dokonalých čísel -
List of Mersenne primes and perfect numbers

z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cuisenaire tyče zobrazující správné dělitele 6 (1, 2 a 3) se součtem až 6
Vizualizace 6 jako dokonalého čísla
Graf vykreslující roky na ose x s počtem číslic největšího známého prvočísla logaritmicky na ose y se dvěma spojnicemi trendu
Logaritmický graf počtu číslic největšího známého prvočísla podle roku, z nichž téměř všechna byla Mersennova prvočísla

Mersennova prvočísla a dokonalá čísla jsou dva hluboce propojené typy přirozených čísel v teorii čísel . Mersennova prvočísla, pojmenovaná po mnichovi Marinu Mersennovi , jsou prvočísla , která lze vyjádřit jako

2 p − 1
pro nějaké kladné celé číslo
p
. Například
3
je Mersennovo prvočíslo, protože je prvočíslem a je vyjádřitelné jako
2 2 − 1
. Čísla
p
odpovídající Mersennovým prvočíslům musí být sama o sobě prvočísla, i když ne všechna prvočísla
p
vedou k Mersennovým prvočíslům – například
2 11− 1 = 2047 = 23 × 89
. Mezitím jsou dokonalá čísla přirozená čísla , která se rovnají součtu jejich kladných vlastních dělitelů , což jsou dělitelé bez samotného čísla. Takže
6
je dokonalé číslo, protože správnými děliteli
6
jsou
1, 2
a
3
a
1 + 2 + 3 = 6
.

Mezi Mersennovými prvočísly a sudými dokonalými čísly existuje vzájemná korespondence . To je způsobeno Euklidovou–Eulerovou větou , částečně dokázanou Euklidem a doplněnou Leonhardem Eulerem : sudá čísla jsou dokonalá právě tehdy, když je lze vyjádřit ve tvaru

2 p − 1 × (2 p − 1)
, kde
2 p − 1
je Mersennovo prvočíslo. Jinými slovy, všechna čísla, která odpovídají tomuto výrazu, jsou dokonalá, zatímco všechna sudá dokonalá čísla odpovídají tomuto tvaru. Například v případě
p = 2
je
2 2 − 1 = 3
prvočíslo a
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
je dokonalé.

V současnosti je otevřený problém , zda existuje nekonečný počet Mersennových prvočísel a dokonce i dokonalých čísel. Frekvence Mersennových prvočísel je předmětem Lenstra–Pomerance–Wagstaffova domněnka , která říká, že očekávaný počet Mersennových prvočísel menší než nějaké dané

x
je
( e γ / log 2) × log log x
, kde
e
je Eulerovo číslo ,
γ
je Eulerova konstanta a
log
je přirozený logaritmus . Také není známo, zda existují nějaká lichá dokonalá čísla; byly prokázány různé podmínky možných lichých dokonalých čísel, včetně spodní hranice
10 1500
.

pro Mersennova prvočísla, který je účinný pro binární počítače.

Zobrazené pořadí patří mezi indexy aktuálně známé k roku 2022; i když je to nepravděpodobné, hodnosti se mohou změnit, pokud jsou objeveny menší. Podle GIMPS byly k říjnu 2021 zkontrolovány a ověřeny všechny možnosti menší než 48. pracovní exponent

p = 57 885 161.
Rok objevu a objevitel jsou Mersennova prvočísla, protože dokonalé číslo bezprostředně následuje podle Euklidova–Eulerova teorému. Objevitelé označovaní jako "GIMPS / jméno " odkazují na objevy GIMPS s hardwarem používaným touto osobou. Pozdější položky jsou extrémně dlouhé, takže je zobrazeno pouze prvních a posledních 6 číslic každého čísla.

Tabulka všech 51 aktuálně známých Mersennových prvočísel a odpovídajících dokonalých čísel
Hodnost
p
Mersenne prvotřídní Mersennova prvočísla Perfektní číslo Perfektní číslice čísel Objev Objevitel Metoda Ref.
1 2 3 1 6 1
Dávné doby
Známý starověkým řeckým matematikům Nezaznamenáno
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
C. 1456
Anonymní Zkušební divize
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler Zkušební dělení s modulárním omezením
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
listopadu 1883
Ivan M. Pervušin Lucasovy sekvence
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
června 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1. června 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10. ledna 1876
Édouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30. ledna 1952
Raphael M. Robinson LLT na SWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770
25. června 1952
16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327
7. října 1952
17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373
9. října 1952
18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937
8. září 1957
Hans Riesel LLT na BESK
19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561
3. listopadu 1961
Alexandr Hurwitz LLT na IBM 7090
20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663
21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834
11. května 1963
Donald B. Gillies LLT na ILLIAC II
22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985
16. května 1963
23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751
2. června 1963
24 19,937 431542...041471 6 002 931144...942656 12 003
4. března 1971
Bryant Tuckerman LLT na IBM 360/91
25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13 066
30. října 1978
Landon Curt Noll a Laura Nickel LLT na CDC Cyber 174
26 23 209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973
9. února 1979
Landon Curt Noll
27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26 790
8. dubna 1979
Harry L. Nelson a David Slowinski LLT na Cray-1
28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924
25. září 1982
David Slowinský
29 110 503 521928...515007 33,265 136204...862528 66 530
29. ledna 1988
Walter Colquitt a Luke Welsh LLT na NEC SX -2
30 132 049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502
19. září 1983
David Slowinski a kol. ( Cray ) LLT na Cray X-MP
31 216 091 746093...528447 65 050 278327...880128 130 100
1. září 1985
LLT na Cray X-MP/24
32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663
17. února 1992
LLT na Harwell Lab 's Cray-2
33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517 430
4. ledna 1994
LLT na Cray C90
34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263
3. září 1996
LLT na Cray T94
35 1,398,269 814717...315711 420 921 331882...375616 841,842
13. listopadu 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 na 90 MHz Pentium PC
36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864
24. srpna 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 na 100 MHz Pentium PC
37 3,021,377 127411...694271 909 526 811686...457856 1 819 050
27. ledna 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 na 200 MHz Pentium PC
38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919
1. června 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 na IBM Aptiva s 350 MHz procesorem
39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892
14. listopadu 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 na PC s 800 MHz procesorem
40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858
17. listopadu 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 na počítači Dell Dimension s 2 GHz procesorem
41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465
15. května 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 na PC s 2,4 GHz procesorem Pentium 4
42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458
18. února 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103
15. prosince 2005
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 na PC na University of Central Missouri
44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714
4. září 2006
45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543
6. září 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 na PC
46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127
4. června 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 na PC s 3 GHz procesorem
47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377
23. srpna 2008
GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 na počítači Dell OptiPlex s procesorem Intel Core 2 Duo E6600
48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340
25. ledna 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 na PC na University of Central Missouri
* 59,451,331 Nejnižší neověřený milník
49 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235
7. ledna 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 na PC s procesorem Intel Core i7-4790
50 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850
26. prosince 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 na PC s procesorem Intel Core i5-6600
51 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095
7. prosince 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 na PC s procesorem Intel Core i5-4590T
* 107,148,487 Nejnižší netestovaný milník

Poznámky

Reference